Dân số P (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức  $P\left(t\right)=\frac{500t}{t^2+9}$, trong đó t là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 12.

Tốc độ tăng dân số tại thời điểm t là

$P^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{500t}{t^2+9}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(500t\right)}^{\text{'}}\left(t^2+9\right)-\left(500t\right){\left(t^2+9\right)}^{\text{'}}}{{\left(t^2+9\right)}^2}$

$=\frac{500\left(t^2+9\right)-2t\cdot 500t}{{\left(t^2+9\right)}^2}=\frac{500t^2+4500-1000t^2}{{\left(t^2+9\right)}^2}=\frac{4500-500t^2}{{\left(t^2+9\right)}^2}$.

Tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 12 là

 $P^{\text{'}}\left(12\right)=\frac{4500-500\cdot {12}^2}{{\left({12}^2+9\right)}^2}\approx -2,884$ (nghìn người/năm).

Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 12 khoảng −2,884 nghìn người/năm.