d) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp ∆OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định

d) $\widehat{ABM}=\widehat{RPM}$ (ABMP nội tiếp)

$\widehat{RPM}=\widehat{QSR}$ (RPMS nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{QSR}$ (Hai góc ở vị trí đồng vị)

=> RS // AB

BP // KM => $\stackrel{⏜}{KP}=\stackrel{⏜}{MB}$

=> $sđ\stackrel{⏜}{PM}=sđ\stackrel{⏜}{PK}+sđ\stackrel{⏜}{KM}=sđ\stackrel{⏜}{BM}+sđ\stackrel{⏜}{KM}=sd\stackrel{⏜}{KB}$

$\Rightarrow \widehat{MOP}=\widehat{KOB}=90°$ (Hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau)

=> ∆OMP nội tiếp đường tròn đường kính PM

PQME nội tiếp đường tròn nên suy ra

Kẻ IC // AQ, ID // BQ $\Rightarrow \widehat{CID}=\widehat{PQM}=45°$

RS = OM = OA = OB = R (không đổi)

=> C, D là trung điểm của OA, OB Þ C, D cố định

I luôn nhìn CD cố định dưới góc 45°

=> I nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn CD cố định.