d) Gọi K là hình chiếu của O trên BC. Chứng minh tỉ số $\frac{AH}{OK}$ không đổi và H chạy trên một cung tròn cố định khi A chuyển động trên cung lớn BC.

d) D, E lần lượt là giao của AO và AI với BC.

Do OK // EI nên theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{EI}{OK}=\frac{EG}{GK}\Rightarrow \frac{EH}{OK}=\frac{EG}{GK}$

Và $\widehat{EIG}=\widehat{GOK}$ (Hai góc ở vị trí so le trong) (1)

Do OK // EA nên theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{OK}{AE}=\frac{DK}{DE}\Rightarrow \frac{AE}{OK}=\frac{DE}{DK}$

Và $\widehat{DOK}=\widehat{DAE}$ (Hai góc ở vị trí đồng vị) (2)

Ta có:

$\frac{AH}{OK}=\frac{AE}{OK}-\frac{EH}{OK}=\frac{ED}{DK}-\frac{EG}{GK}$ (*)

Tam giác OIA cân tại O do có OI = OA (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{GOK}=\widehat{DOK}$

=> OK là đường phân giác của tam giác DOG mà OK cũng là đường cao nên OK là đường trung trực của tam giác DOG cân tại O

=> GK = DK

 Khi đó (*) trở thành: $\frac{AH}{OK}=\frac{ED}{DK}-\frac{EG}{GK}=\frac{ED}{GK}-\frac{EG}{GK}=\frac{GD}{GK}=2$

Vậy tỉ số $\frac{AH}{OK}$ không đổi.

Do BC cố định nên ta luôn xây dựng được một đường tròn (J) là đường tròn ngoại tiếp của tam giác HBC. Vậy nên H luôn chuyển động trên một cung cố định.