d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.

Trả lời

d) Ta có: $\widehat{SOI}+\widehat{AOB}=90°$

$$\begin{gathered} \widehat{AOB}+\widehat{OAB}=90° \\ \widehat{OAB}=\widehat{SAO} \end{gathered}$$

Suy ra $\widehat{SOA}=\widehat{SAO}$ => ∆SOA cân tại S

Lại có SI là đường trung tuyến

Suy ra SI $\perp$ OA => KS $\perp$ OA (5)

Ta có ∆KAS có

AI $\perp$ KS suy ra KI = SI.

Mà OI $\perp$ AI

Suy ra OKAS là hình bình hành (6)

Từ (5) và (6) suy ra AKOS là hình thoi.

Ta có ∆OAB vuông tại A có OA = 2OD = 2R

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{OAB}=30°\Rightarrow \tan \widehat{OAB}=\tan 30°=\frac{KI}{AI} \\ \Rightarrow KI=\tan 30°.AI=\frac{\sqrt{3}}{3}R \\ \Rightarrow KS=\frac{2\sqrt{3}}{3}R \end{gathered}$$

Vậy $SAKOS=\frac{OA.SK}{2}=\frac{2R.\frac{2\sqrt{3}}{3}R}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{R}^2.$