d) Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng MC, AH và EF đồng quy.

d) Ta có ∆OAC cân tại O (OA = OC = R).

Suy ra  $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$  (3)

Lại có ∆ABC vuông tại A. Suy ra   $\widehat{OCA}+\widehat{ABH}=90°$ (4)

Ta có ∆ABH vuông tại H. Suy ra   $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90°$ (5)

Từ (3), (4), (5), suy ra $\widehat{OAC}=\widehat{BAH}$ .

Mà $\widehat{IAB}=\widehat{BAH}$  (chứng minh trên).

Do đó $\widehat{OAC}=\widehat{IAB}$  .

Mà $\widehat{OAC}+\widehat{BAO}=90°$  .

Suy ra $\widehat{IAB}+\widehat{BAO}=90°$  .

Do đó $\widehat{IAO}=90°$ .

Vì vậy IA là tiếp tuyến của (O).

Mà BM cũng là tiếp tuyến của (O) (giả thiết).

Suy ra AM = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Gọi N là giao điểm của AC và BM.

Ta có BM ⊥ BH (do BM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)) và AH ⊥ BC (giả thiết).

Suy ra BM // AH.

Mà M là trung điểm BN (tam giác ABN vuông tại A có AM = BM).

Do đó CM đi qua trung điểm D của AH (do D là giao điểm của hai AH và EF trong hình chữ nhật AEHF).

Vậy ba đường thẳng MC, AH và EF đồng quy.