d) Chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

d) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\text{A}C=R=\frac{1}{2}BC$

Suy ra $\widehat{ABC}=30°$

Ta có: AD ⊥ BI, MN⊥ BI, suy ra AD // MN

Xét tam giác BMN có AD // MN

Suy ra $\frac{AH}{NI}=\frac{HD}{IM}$

Mà AH = HD, suy ra NI = IM

Hay I là trung điểm của MN

Xét tam giác BMN có BI vừa là trung tuyến vừa là đường cao

Suy ra tam giác BMN cân tại B và BI là tia phân giác

Do đó $\widehat{NBM}=2\widehat{ABC}=2.30°=60°$

Suy ra tam giác BMN đều

Lại có C là trực tâm, suy ra C cũng đồng thời là trọng tâm tam giác

Do đó BC = 2CI, hay 2OC = 2CI

Suy ra OC = CI

Mà OC + CI = OI

Suy ra $\text{OC = CI = }\frac{1}{2}OI$

Xét tam giác AIO có $\text{OC = CI = }\frac{1}{2}OI$

Suy ra tam giác AIO vuông tại A, hay AO ⊥ AI

Xét (O) có OA là bán kính, AO ⊥ AI

Suy ra AI là tiếp tuyến của (O)

Vậy AI là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).