Có bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 3 chữ số khác nhau?
b) Là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c) Là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d) Là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải
a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để lập số này, ta thực hiện ba công đoạn liên tiếp:
• Chọn số a có 9 cách, do a ≠ 0.
• Chọn b có 9 cách từ tập A\{a}.
• Chọn c có 8 cách từ tập A\{a; b}.
Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 9 . 9 . 8 = 648 (số).
b) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để \(\overline {abc} \) là số lẻ thì c thuộc tập hợp {1; 3; 5; 7; 9},
• Chọn c có 5 cách từ tập {1; 3; 5; 7; 9}.
• Chọn a có 8 cách từ tập A\{c; 0}.
• Chọn b có 8 cách từ tập A\{c; a}.
Vậy số các số tự nhiên là số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: 5 . 8 . 8 = 320 (số).
c) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0).
Để \(\overline {abc} \) chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.
• Chọn c có 2 cách từ tập {0; 5}.
• Chọn a có 9 cách từ tập A\{0}.
• Chọn b có 10 cách từ tập A.
Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số mà chia hết cho 5 là: 2 . 9 . 10 = 180 (số).
d) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline {abc} \), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c).
Để \(\overline {abc} \) chia hết cho 5 thì c thuộc tập hợp {0; 5}.
• Trường hợp 1: Nếu c = 0 thì: chọn a có 9 cách, chọn b có 8 cách.
Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 0 là: 9 . 8 = 72 (số).
• Trường hợp 2: Nếu c = 5 thì: chọn a có 8 cách (do a ≠ 0 và a ≠ c), chọn b có 8 cách (do a ≠ b ≠ c).
Do đó, số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà tận cùng là 5 là: 8 . 8 = 64 (số).
Vì hai trường hợp rời nhau nên ta áp dụng quy tắc cộng, vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 5 là: 72 + 64 = 136 (số).