Ta có: $y^{\text{'}}=m^2{x}^2-2\left(m^2-4m\right)x+1$.

Hàm số đồng biến trên $ℝ\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in ℝ\iff m^2{x}^2-2\left(m^2-4m\right)x+1\ge 0,\forall x\in ℝ$. (*).

Với m = 0, ta có ${\text{y}}^{\text{'}}=1\ge 0,\forall x\in ℝ\Rightarrow$ Thỏa mãn bài toán.

Với $m\ne 0\iff m^2>0:(*)$ được thỏa mãn khi và chỉ khi ${\Delta }^{\text{'}}={\left(m^2-4m\right)}^2-m^2\le 0$

$\iff m^2\left[{(m-4)}^2-1\right]\le 0\iff \left\{\begin{array}{l}{(m-4)}^2\le 1\\ m\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le m-4\le 1\\ m\ne 0\end{array}\iff 3\le m\le 5.\right.\right.$