Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y=1/3 cos^3 x- 4 cot x- ( m+1) đồng biến trên khoảng

C. Vô số

Trả lời

Ta có:

_{$y\text{'}=-{\cos }^{2}x.\mathrm{s}\text{inx}+\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x}}+\left(m+1\right).\mathrm{s}\text{inx}=\mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x + }\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x}}+m.\mathrm{s}\text{inx}$}

- Hàm số đồng biến trến $\left(0;\pi \right)$ khi và chỉ khi $y\text{'}\ge 0,\forall x\in \left(0;\pi \right)$

_{$\iff \mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x + }\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x}}+m.\mathrm{s}\text{inx}\ge 0,\forall x\in \left(0;\pi \right)$}

_{$\iff \mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x+}\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x}}\ge -m,\forall x\in \left(0;\pi \right)\left(1\right)$}

- Xét hàm số: $g\left(x\right)=\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x +}\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x}}$ trên $\left(0;\pi \right)$

Có $g\text{'}\left(x\right)=2\sin x.\cos x-\frac{12\cos x}{{\sin }^{4}x}$

_{$=2\cos x.\left(\sin x-\frac{6}{{\sin }^{4}x}\right)=2\cos x.\frac{{\sin }^{5}x-6}{{\sin }^{4}x}$}

_{$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\frac{\pi }{2}\in \left(0;\pi \right)$}

Bảng biến thiên

- Do đó : $\left(1\right)\iff -m\le \underset{x\in \left(0;\pi \right)}{\min }g\left(x\right)\iff -m\le 5$

_{$\iff m\ge -5$}

- Lại do m nguyên âm nên $m\in \left\{-5;-4;-3;-2;-1\right\}$

Vậy có 5 số nguyên âm.

Chọn A