Có bao nhiêu số $a\in (0;20\pi )$sao cho ${\int }_0^a{\sin }^{5}x\sin 2xdx=\frac{2}{7}$?

Ta có:

${\int }_0^a{\sin }^{5}x\sin 2xdx={\int }_0^a{\sin }^{5}x2\sin x\cos xdx=2{\int }_0^a{\sin }^{6}xd\left(\sin x\right)={\left.2\cdot \frac{{\sin }^{7}x}{7}\right|}_0^a=\frac{2}{7}{\sin }^{7}a$

Theo đề: ${\int }_0^a{\sin }^{5}x\sin 2xdx=\frac{2}{7}\iff \frac{2}{7}{\sin }^{7}a=\frac{2}{7}\iff \sin a=1\iff a=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ 

Vì $a\in (0;20\pi )\Rightarrow 0<\frac{\pi }{2}+k2\pi <20\pi \iff \frac{-1}{4}<k<\frac{39}{4}$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên có tổng cộng 10 giá trị cho k tương ứng 10 giá trị a thỏa mãn.