Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn $\left[-100;100\right]$  để phương trình $2\sqrt{x+1}=x+m$  có nghiệm thực?

B.101

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x\ge -1$

Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}t\ge 0\\ x=t^2-1\end{array}\right.$

Ta được phương trình $2t=t^2-1+m\iff m=-t^2+2t+1$

Xét hàm số $f\left(t\right)=-t^2+2t+1,t\ge 0$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+2=0\iff t=1$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi  $m\le 2\Rightarrow -100\le m\le 2$

Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn