Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x³ − 3(m + 2)x² + 3(m² + 4m)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 1).

y = x³ − 3(m + 2)x² + 3(m² + 4m)x + 1

⇒ y′ = 3x² − 6(m + 2)x + 3(m² + 4m)

Hàm số y = x³ − 3(m + 2)x² + 3(m² + 4m)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0;1) 

⇔ f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ (0;1) và bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).

⇔ 3x² − 6(m + 2)x + 3(m² + 4m) ≤ 0, ∀x ∈ (0;1) và bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).

Xét phương trình 3x² − 6(m + 2)x + 3(m² + 4m) = 0 (∗)

Δ′ = 9(m +2)² − 3.3.(m² + 4m) = 36 > 0, ∀m

Þ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì x₁ ≤ 0 < 1 ≤ x₂

$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\le 0\\ (1-x_1)(1-x_2)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\le 0\\ 1+x_1{x}_2-(x_1+x_2)\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2+4m\le 0\\ 1+m^2+4m-2m-4\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-4\le m\le 0\\ -3\le m\le 1\end{array}\right.\iff -3\le m\le 0$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-3;-2;-1;0\right\}$.

Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn.