Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số  $y=x^3+mx-\frac{1}{5x^5}$ đồng biến với x > 0?

+ Hàm số xác định và liên tục với mọi x > 0.

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+m+\frac{1}{x^6},\forall x\in \left(0;+\infty \right)$

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)  khi và chỉ khi: 

$y^{\text{'}}=3x^2+m+\frac{1}{x^6}\ge 0,\forall x\in \left(0;+\infty \right)$

$\iff m\ge -3x^2-\frac{1}{x^6}=g\left(x\right),\forall x\in \left(0;+\infty \right)$

$\iff m\ge \underset{x\in \left(0;+\infty \right)}{\max }g\left(x\right),\forall x\in \left(0;+\infty \right)$

Xét  $g^{\text{'}}\left(x\right)=-6x+\frac{6}{x^7}=\frac{-6\left(x^8-1\right)}{x^7}=0\iff x=1$

Bảng biến thiên:

Suy ra max g (x) = g (1) = −4 và do đó để hàm số đã cho đồng biến t với x > 0 thì m ≥ −4

Mà m nguyên âm nên m Î{−4; −3; −2; −1}.

Vậy có 4 giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn.