Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020 và log₃(3x + 3) + x = 2y + 9^y?

ĐKXĐ: 3x + 3 > 0 ⇔ x > −1.

Ta có: log₃(3x + 3) + x = 2y + 9^y

⇔ log₃[3(x + 1)] + x = 2y + 3^2y

⇔ log₃3 + log₃(x + 1) + x = 2y + 3^2y

⇔ log₃(x + 1) + x + 1 = 2y + 3^2y

⇔log₃(x + 1) + 3^{log3(x + 1)} = 2y + 3^2y

Xét hàm đặc trưng f(t) = t + 3^t ta có f ′(t) = 1 + 3^tln3 > 0.

⇒ Hàm số y = f(t) đồng biến trên ℝ, do đó ta có log₃(x + 1) = 2y

⇔ x + 1 = 3^2y.

Theo bài ra ta có: 0 ≤ x ≤ 2020

⇔ 0 ≤ 3^2y – 1 ≤ 2020

⇔ 1 ≤ 3^2y ≤ 2020

⇔ 0 ≤ 2y ≤ log₃2020 ≈ 6,9

Mà y ∈ Z ⇒ y ∈ {0; 1; 2; 3}.

Ứng với mỗi giá trị của y cho 1 giá trị x tương ứng.

Vậy có 4 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.