Có bao nhiêu bộ (x; y) với x, y nguyên và $1\le x,y\le 2020$ thỏa mãn$(xy+2x+4y+8){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)\le (2x+3y-xy-6){\log }_2\left(\frac{2x+1}{x-3}\right)?$

Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ của bất phương trình ta có

$1\le \text{y}\le 2020;4\le \text{x}\le 2020;\text{x},\text{y}\in \text{Z},\left(1\right)$.

Ta có $(xy+2x+4y+8){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)\le (2x+3y-xy-6){\log }_2\left(\frac{2x+1}{x-3}\right)$

$\iff (\text{x}+4)(\text{y}+2){\log }_3\left(\frac{2\text{y}}{\text{y}+2}\right)+(\text{x}-3)(\text{y}-2){\log }_2\left(\frac{2\text{x}+1}{\text{x}-3}\right)\le 0$ (*)

Xét $\text{f}\left(\text{x}\right)={\log }_2\left(\frac{2\text{x}+1}{\text{x}-3}\right)={\log }_2\left(2+\frac{7}{\text{x}-3}\right)>0,\forall \text{x}\in [4;2020]$

Với y = 1 thay vào (*) ta được $3(\text{x}+4){\log }_3\left(\frac{2}{3}\right)-(\text{x}-3){\log }_2\left(\frac{2\text{x}+1}{\text{x}-3}\right)\le 0$ (luôn đúng$\forall \text{x}\in [4;2020]$ do (1) và (2)). Suy ra có 2017 bộ (x;y) .

Với y = 2 thay vào (*) ta thấy luôn đúng $\forall \text{x}\in [4;2020]$, suy ra có 2017 bộ (x;y).

Với $3\le y\le 2020\Rightarrow y-2>0$. Xét $g\left(y\right)={\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)={\log }_3\left(\frac{y+y}{y+2}\right)>{\log }_3\left(\frac{y+2}{y+2}\right)=0,\forall y\ge 3$ (3).