Chứng minh với a, b, c thuộc ℝ ta có: (a + b + c)^2. (ab + bc + ca)^2 lớn hơn bằng 3(ab + bc + ca)^3
Chứng minh với a, b, c ∈ ℝ ta có: (a + b + c)2. (ab + bc + ca)2 ≥ 3(ab + bc + ca)3
Áp dúng bất đẳng thức Cô-si ta có:
a2 + b2 ≥ 2ab;
b2 + c2 ≥ 2bc;
c2 + a2 ≥ 2ca.
Cộng vế với vế ta có:
2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca)
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (*)
Mặt khác (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
Từ (*) suy ra: (a + b + c)2 ≥ 3 (ab + bc + ca)
⇔ (a + b + c)2. (ab + bc + ca)2 ≥ 3 (ab + bc + ca). (ab + bc + ca)2
⇔ (a + b + c)2. (ab + bc + ca)2 ≥ 3(ab + bc + ca)3 (đpcm).