Chứng minh rằng: R/r = sin A + sin B + sin C/2sin Asin Bsin C

Trả lời

Lời giải

Ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

$S = \frac{{a + b + c}}{{2r}} = R.r.\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right)$

Mặt khác: $S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{2R\sin A.2R\sin B.2R\sin C}}{{4R}} = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C$.

Nên $R.r.\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C$.

Hay $\frac{R}{r} = \frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{2\sin A\sin B\sin C}}$.