Chứng minh các đẳng thức sau với \[{\rm{n\;}} \in {{\rm{N}}^{\rm{*}}}\]\[{{\rm{A}}_{\rm{n}}}{\rm{\; = \;}}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{1}}{\rm{.2}}{\rm{.3}}}}{\rm{\; + \;}}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\rm{.3}}{\rm{.4}}}}{\rm{\; + \;}}...{\rm{\; + \; }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)\left( {{\rm{n + 2}}} \right)}}{\rm{\; = \;}}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 3}}} \right)}}{{{\rm{4}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)\left( {{\rm{n + 2}}} \right)}}\]

 Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn

\[{{\rm{A}}_{{\rm{k + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{A}}_{\rm{k}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\left( {{\rm{k + 1}}} \right)\left( {{\rm{k + 2}}} \right)\left( {{\rm{k + 3}}} \right)}}\]