Chứng minh các bất đẳng thức sau 3n − 1 > n(n + 2) với \[{\rm{n }} \ge {\rm{ 4}}\]

Với n = 4 thì \({{\rm{3}}^{{\rm{4 - 1}}}}{\rm{ = 27 > 4}}\left( {{\rm{4 + 2}}} \right){\rm{ = 24}}\)

Giả sử đã có

\({{\rm{3}}^{{\rm{k - 1}}}}{\rm{ > k}}\left( {{\rm{k + 2}}} \right)\)với \(k \ge 4\left( 1 \right)\)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

\({\rm{3}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{k - 1}}}}{\rm{ > 3k}}\left( {{\rm{k + 2}}} \right){\rm{ = }}\left( {{\rm{k + 1}}} \right)\left[ {\left( {{\rm{k + 1}}} \right){\rm{ + 2}}} \right]{\rm{ + 2}}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2k - 3}}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{3}}\left( {{\rm{k + 1}}} \right){\rm{ - 1 > }}\left( {{\rm{k + 1}}} \right)\left[ {\left( {{\rm{k + 1}}} \right){\rm{ + 2}}} \right]{\rm{ + 2}}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2k - 3}}\)

Do \({\rm{2}}{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2k - 3 > 0}}\)nên \({{\rm{3}}^{\left( {{\rm{k + 1}}} \right){\rm{ - 1}}}}{\rm{ > }}\left( {{\rm{k + 1}}} \right)\left[ {\left( {{\rm{k + 1}}} \right){\rm{ + 2}}} \right]{\rm{ }}\)

Chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1