Chứng minh bất đẳng thức: (a + b + c) (1/a + 1/b + 1/c) > = 9
Chứng minh bất đẳng thức: \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Áp dụng BĐT Cô–si cho vế trái ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}}\\{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}}\)
\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\sqrt[3]{{\frac{{abc}}{{abc}}}}\)
\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)(điều phải chứng minh).