Chứng minh bằng quy nạp:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{...}+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ (1).

Với n = 1. Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1) = 2

Suy ra (1) đúng với n = 1

Giải sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{...}+k\left(k+1\right)=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}$ (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng mình:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{...}+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}$

Thật vậy:

$\begin{array}{l}1.2+2.3+3.4+\mathrm{...}+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ =\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\end{array}$