Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

$\frac{a^3}{b}+ab\ge 2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2$ (1)

$\frac{b^3}{c}+bc\ge 2\sqrt{\frac{b^3}{c}.bc}=2b^2$ (2)

$\frac{c^3}{a}+ca\ge 2\sqrt{\frac{c^3}{a}.ca}=2c^2$ (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a^3}{b}+ab+\frac{b^3}{c}+bc+\frac{c^3}{a}+ca\ge 2a^2+2b^2+2c^2 \\ \iff \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge 2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right) \end{gathered}$$

Theo hệ quả của BĐT AM - GM thì: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

Do đó $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge 2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ca$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c > 0