Chứng minh $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca$.

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

$\frac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2{{\rm{a}}^2}$

$\frac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2{b^2}$

$\frac{{{c^3}}}{a} + ac \ge 2{c^2}$

Suy ra $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} + ab + bc + ac \ge 2{{\rm{a}}^2} + 2{b^2} + 2{c^2}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ac} \right)$

Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM thì a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac

Do đó $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca$

Vậy $\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca$.