Chứng minh: 2x − 2x^2 − 1 < 0 với mọi số thực x.

Trả lời

Lời giải

Ta có: 2x − 2x² – 1 = − (2x² − 2x + 1)

$= - 2\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right)$$= - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2}$

Do ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0;\;\forall x$

$\Rightarrow - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0;\;\forall x$

$\Rightarrow - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} \le - \frac{1}{2};\;\forall x$

$\Rightarrow - 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} < 0;\;\forall x$

Vậy 2x − 2x² − 1 < 0 với mọi số thực x.