Chứng minh 2n^3 + 3n^2 + n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n.
Chứng minh 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n.
Lời giải
Ta có 2n3 + 3n2 + n = n(2n2 + 3n + 1)
= n(2n2 + 2n + n + 1)
= n[2n(n + 1) + (n + 1)]
= n(n + 1)(2n + 1)
= n(n + 1)(2n – 2 + 3)
= 2(n – 1)n(n + 1) + 3n(n + 1).
Ta có n – 1; n và n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp.
Suy ra (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 2 và 3.
Do đó (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6
Vì vậy 2(n – 1)n(n + 1) chia hết cho 6 (1)
Lại có n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp. Tức là trong 2 số n và n + 1, ta có 1 số là số chẵn.
Suy ra n(n + 1) chia hết cho 2.
Do đó 3n(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 3n(n + 1) cũng chia hết cho 3.
Vì vậy 3n(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6 (2)
Từ (1), (2), ta suy ra 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6.