Chứng minh: 1/1 + căn bậc hai của 2 + 1/ căn bậc hai của 3  + căn bậc hai của 4 + ... + 1/ căn bậc hai của 79 + căn bậc hai của 80 > 4

Trả lời

Lời giải

Ta có: $\frac{1}{{\sqrt {k - 1} + \sqrt k }} > \frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }}$

$\Rightarrow \frac{2}{{\sqrt {k - 1} + \sqrt k }} > \frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {k - 1} + \sqrt k }}$

$= \sqrt k - \sqrt {k - 1} + \sqrt {k + 1} - \sqrt k = \sqrt {k + 1} - \sqrt {k - 1}$

$\Rightarrow 2\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}} \right) > \sqrt 3 - \sqrt 1 + \sqrt 5 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {81} - \sqrt {79}$

$\Rightarrow 2\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}} \right) > 9 - 1 = 8$.

Vậy $\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4$.