Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tính GTNN của biểu thức: M=3x+2y+6/x+8/y

Trả lời

Ta có:  $M=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$

$=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)+\left(\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}\right)$

$=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)+\frac{3}{2}\left(x+y\right)$

Áp dụng BĐT AM - GM với x, y > 0 ta có:

$\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge 2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=2\sqrt{9}=6$

$\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge 2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{8}{y}}=2\sqrt{4}=4$

Khi đó:  $M=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)+\frac{3}{2}\left(x+y\right)$

$\ge 6+4+\frac{3}{2}.6=19$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 2, y = 4.

Vậy GTNN của biểu thức M là 19 khi x = 2, y = 4.