Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{2{\text{x}}^2+x+1}+\sqrt{2y^2+y+1}+\sqrt{2{\text{z}}^2+z+1}$.

Vì x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1

Nên 0 ≤ x, y, z ≤ 1

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2\le x\\ y^2\le y\\ z^2\le z\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x^2+x+1\le x^2+2\text{x}+1\\ 2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\ 2z^2+z+1\le z^2+2\text{z}+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x^2+x+1\le {\left(x+1\right)}^2\\ 2y^2+y+1\le {\left(y+1\right)}^2\\ 2z^2+z+1\le {\left(\text{z}+1\right)}^2\end{array}\right.$

Suy ra $P\le \sqrt{{\left(x+1\right)}^2}+\sqrt{{\left(y+1\right)}^2}+\sqrt{{\left(z+1\right)}^2}=x+y+z+3=1+3=4$

Dấu “ = ” xảy ra khi $\left[\begin{array}{l}x=0,y=0,z=1\\ x=0,y=1,z=0\\ x=1,y=0,z=0\end{array}\right.$

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi (x; y; z) = (0; 0; 1) và các hoán vị.