Cho x + y + z = 1. Chứng minh: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}\].

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}\]

⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ 1

⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ (x+y+z)2

⇔ 3x² + 3y² + 3z² − x² − y² − z² − 2xy − 2yz − 2zx ≥ 0

⇔ 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz − 2zx ≥ 0

⇔ (x² − 2xy + y²) + (y² − 2yz + z²) + (z² − 2zx + x²) ≥ 0

⇔ (x − y)² + (y − z)² + (z − x)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}\].