Cho x, y thỏa mãn x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1.

Lời giải

Ta có: x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0

⟺ (x² + 2xy + y²) + 7(x + y) + 10 = – y²

⟺ (x + y)² + 2(x + y) + 5(x + y) + 10 = – y²

⟺ (x + y)(x + y + 2) + 5(x + y + 2) = – y²

⟺ (x + y + 2)(x + y + 5) = – y²

Vì – y² ≤ 0

Nên (x + y + 2)( x + y + 5) ≤ 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 \le 0\\x + y + 5 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \le - 2\\x + y \ge - 5\end{array} \right.$

⇒ – 5 ≤ x + y ≤ – 2

⇒ – 4 ≤ x + y + 1 ≤ – 1

Hay – 4 ≤ S ≤ – 1

Nên S đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi $\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = - 5\end{array} \right.$

S đạt giá trị lớn nhất bằng – 1 khi $\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = - 2\end{array} \right.$

Vậy giá trị lớn nhất của S là – 1 khi x = – 2, y = 0; giá trị nhỏ nhất của S là – 4 khi x = – 5, y = 0.