cho x, y thỏa mãn x > y; xy = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{x^2+y^2}{x-y}$ .

$\begin{array}{l}A=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\\ =\frac{{\left(x-y\right)}^2+2xy}{x-y}=\frac{{\left(x-y\right)}^2+2}{x-y}\\ =x-y+\frac{2}{x-y}\end{array}$(do xy = 1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 2 số x ‒ y và $\frac{2}{x-y}$  ta có

$A=x-y+\frac{2}{x-y}\ge 2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}$

Vậy A_min =$2\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x-y=\sqrt{2}\\ xy=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$ .