Cho x, y là những số thực thoả mãn x^2 − xy + y^2 = 1. Gọi M và m lần lượt

Trả lời

Ta có:

+) 1 + xy = x² + y² ≥ 2xy Û xy £ 1 (Vì (x − y)² = x² + y² − 2xy ≥ 0)

+) x² − xy + y² = 1

Û (x + y)² − 3xy = 1

Û (x + y)² = 1 + 3xy ≥ 0

$\iff xy\ge -\frac{1}{3}$

Khi đó:  $P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}=\frac{{\left(x^2+y^2\right)}^2-2x^2{y}^2+1}{x^2+y^2+1}$

$=\frac{{\left(1+xy\right)}^2-2{\left(xy\right)}^2+1}{xy+2}$

$=\frac{1+2xy+{\left(xy\right)}^2-2{\left(xy\right)}^2+1}{xy+2}=\frac{-{\left(xy\right)}^2+2xy+2}{xy+2}$

Đặt  $t=xy,t\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$, xét hàm số  $P=\frac{-t^2+2t+2}{t+2}$

$P^{\text{'}}=\frac{-t^2-4t+2}{{\left(t+2\right)}^2}=0\iff t=-2+\sqrt{6}$

Ta tính được:  $P\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{15};P\left(1\right)=1;P\left(-2+\sqrt{6}\right)=6-2\sqrt{6}$

Khi đó  $m=P\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{15};M=P\left(-2+\sqrt{6}\right)=6-2\sqrt{6}$

Vậy  $A=M+15m=\left(6-2\sqrt{6}\right)+15.\frac{11}{15}=17-2\sqrt{6}$.