Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x² + y².

Ta có: x + y = 1 Þ y = 1 – x

Þ x² + y² = x² + (1 – x)² = x² + 1 – 2x + x² = 2x² – 2x + 1

               $=2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$ 

Với x ≥ 0 ta có ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$  nên $2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}$

Do đó $x^2+y^2\ge \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0\iff x-\frac{1}{2}=0\iff x=\frac{1}{2}$

Với $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của x² + y² là $\frac{1}{2}$  khi $x=y=\frac{1}{2}$ .