Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x² − 2xy + x − 2y ≤ 0.

Tìm GTLN của M = x² − 5y² + 3x.

Ta có: x² − 2xy + x − 2y ≤ 0

Û x(x − 2y) + (x − 2y) ≤ 0

Û (x − 2y)(x + 1) ≤ 0

Mà do x, y là các số thực không âm nên x + 1 > 0

Khi đó x − 2y ≤ 0 Û x ≤ 2y

Với x, y là các số thực không âm nên ta có:

M = x² − 5y² + 3x ≤ (2y)² − 5y² + 3.(2y)

= −y² + 6y = −y² + 6y − 9 + 9

= −(y − 3)² + 9 ≤ 9, "y

Dấu “=” xảy ra Û y − 3 = 0 Û y = 3.

Vậy GTLN của M là 9 khi y = 3 và x = 2.3 = 6.