Cho x; y là 2 số không âm thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh: $\frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} \le 1$.

Vì x; y là 2 số không âm thỏa mãn x + y = 1

Nên 0 ≤ x; y ≤ 1

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le {\rm{x}}\\{y^2} \le y\end{array} \right.$

Do đó x² + y² ≤ x + y = 1

Ta có

$\frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + x + y}}{{(x + 1)(y + 1)}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 2}}$

Suy ra

$\frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} \le \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{2} \le \frac{{1 + 1}}{2} = 1$

Dấu “=” xảy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0