Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x^4 + y^4) + 1/xy > = 5
Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).
Ta có:
(a – b)2 ≥ 0
⇔ a2 – 2ab + b2 ≥ 0
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
⇔ 2(a2 + b2) ≥ 2ab + a2 + b2
⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
\(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 8\left[ {\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{2}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left[ {\frac{{\left( {x + {y^2}} \right)}}{2}} \right]^2} = 1\) (vì x + y = 1)
Lại có (x + y)2 ≥ 4xy
⇔ 1 ≥ 4xy (vì x + y = 1)
\( \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4\)
Suy ra \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 1 + 4 = 5\)
Vậy \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).