Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: $8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5$.

Ta có:

(a – b)² ≥ 0

⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0

⇔ a² + b² ≥ 2ab

⇔ 2(a² + b²) ≥ 2ab + a² + b²

⇔ 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có

$8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 8\left[ {\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{2}} \right]$

$\Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left[ {\frac{{\left( {x + {y^2}} \right)}}{2}} \right]^2} = 1$ (vì x + y = 1)

Lại có (x + y)² ≥ 4xy

⇔ 1 ≥ 4xy (vì x + y = 1)

$\Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4$

Suy ra $8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 1 + 4 = 5$

Vậy $8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5$.