Cho x > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 9x² – 5x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 10.

S = 9x² – 5x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 10

⇔ S = (3x – 1)² + x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 9

Vì (3x – 1)² ≥ 0 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x = \(\frac{1}{3}\)

Mà x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số không âm x; \(\frac{1}{{9x}}\) ta được:

x + \(\frac{1}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{9x}}} = 2.\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi x = \( = \frac{1}{{9x}}\,hay\,x = \frac{1}{3}\)

Khi đó: S = (3x – 1)² + x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 9 ≥ 0 + \(\frac{2}{3} + 9 = \frac{{29}}{3}\)

Vậy min S = \(\frac{{29}}{3}\) khi x = \(\frac{1}{3}\).