Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của M = \(4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2021\).

M = \(4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2021\)

M = \(\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) + 2020\)

M = \({\left( {2x - 1} \right)^2} + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) + 2020\)

Có: (2x – 1)² ≥ 0 với mọi x, dấu “=” khi x = \(\frac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x và \(\frac{1}{{4x}}\):

\(x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 2.\frac{1}{2} = 1\)

Dấu ‘=” khi x = \(\frac{1}{{4x}}\)hay 4x² = 1, tức x² = \(\frac{1}{4}\), mà x > 0 nên x = \(\frac{1}{2}\)

Vậy M ≥ 0 + 1 + 2020 = 2021

Dấu “=” khi x = \(\frac{1}{2}\).