Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của M = $4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2021$.

M = $4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2021$

M = $\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) + 2020$

M = ${\left( {2x - 1} \right)^2} + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) + 2020$

Có: (2x – 1)² ≥ 0 với mọi x, dấu “=” khi x = $\frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x và $\frac{1}{{4x}}$:

$x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 2.\frac{1}{2} = 1$

Dấu ‘=” khi x = $\frac{1}{{4x}}$hay 4x² = 1, tức x² = $\frac{1}{4}$, mà x > 0 nên x = $\frac{1}{2}$

Vậy M ≥ 0 + 1 + 2020 = 2021

Dấu “=” khi x = $\frac{1}{2}$.