Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng

Trả lời

Do M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC nên ta có:

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right)$

Suy ra, bình phương hai vế ta được:

$M{N}^2=\frac{1}{4}\left(A{B}^2+C{D}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\right)$ 

$\iff M{N}^2=\frac{1}{4}\left[A{B}^2+C{D}^2+2AB.CD.\cos \left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)\right]$

$\iff 3a^2=\frac{1}{4}\left[4a^2+4a^2+2.2a.2a.\cos \left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)\right]$

$\iff 3a^2=\frac{1}{4}\left[8a^2+8a^2.\cos \left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)\right]$

$\iff 3a^2=2a^2+2a^2.\cos \left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)$

$\iff a^2=2a^2.\cos \left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)$

$\iff \cos \left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)=\frac{1}{2}$

Suy ra  $\left(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}}\right)=60°$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 60°.