Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
b) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).
Lời giải
a) Ta có \(VT = \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\) (M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC).
\( = \frac{1}{2}.\vec 0 + \frac{1}{2}.\vec 0 + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right) = VP\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} \)
\( = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 4\overrightarrow {OI} \), với I là trung điểm MN.
Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \vec 0\).
Tức là, O ≡ I.
Vậy O ≡ I thỏa mãn yêu cầu bài toán.