Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Chứng minh $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)$.

b) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0$.

Lời giải

a) Ta có $VT = \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)$ (M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC).

$= \frac{1}{2}.\vec 0 + \frac{1}{2}.\vec 0 + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right) = VP$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB}$

$= 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 4\overrightarrow {OI}$, với I là trung điểm MN.

Khi đó $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \vec 0$.

Tức là, O ≡ I.

Vậy O ≡ I thỏa mãn yêu cầu bài toán.