Lời giải
a) * Xét ΔBAC có:
• AM = MB (vì M là trung điểm AB);
• BN = NC (vì N là trung điểm CB).
Do đó MN // AC; \[MN = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (1)
* Xét ΔACD có:
• AQ = QD (vì Q là trung điểm AD);
• CP = PD (vì P là trung điểm CD).
Do đó PQ // AC; \[QP = \;\frac{1}{2}AC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ // AC; \[MN = PQ = \;\frac{1}{2}AC\].
* Xét ΔBCD có:
• CN = NB (vì N là trung điểm CB);
• CP = PD (vì P là trung điểm CD).
Do đó NP // BD; \[NP = \;\frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (3)
* Xét ΔABD có:
• AM = MP (vì M là trung điểm AB)
• AQ = QD (vì Q là trung điểm AD)
Do đó MQ // BD; \[MQ = \frac{1}{2}BD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra NP // MQ // BD; \[NP = MQ = \;\frac{1}{2}BD\].
b) * Xét ΔABD có:
• MA = MB (gt)
• BF = FD (gt)
Do đó MF // AD; \[MF = \;\frac{1}{2}AD\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (5)
* Xét ΔACD có:
• AE = EC (gt)
• CP = PD (gt)
Do đó PE // AD; EP = \[\frac{1}{2}\]AD (định lí đường trung bình của một tam giác) (6)
Từ (5) và (6) suy ra MF // PE // AD; \[MF = PE = \;\frac{1}{2}AD\].
* Xét Δ ACB có:
• AE = EC (gt)
• AM = MB (gt)
Do đó ME // BC; \[ME = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (7)
* Xét ΔBDC có:
• BF = FD (gt)
• DP = PC (gt)
Do đó PF // BC; \[PF = \;\frac{1}{2}BC\] (định lí đường trung bình của một tam giác) (8)
Từ (7) và (8) suy ra ME // PF // BC; \[ME = PF = \;\frac{1}{2}BC\].
c) Xét tứ giác MEPF có:
MN = PQ (chứng minh trên); NP = MQ (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác MEPF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Xét tứ giác MNPQ có:
MF = PE (chứng minh trên); ME = PF (chứng minh trên).
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).