Cho tứ giác ABCD chứng minh

a) AB < BC + CD + AD

b) AC + BD < AB + BC + CD + AD

a) Nối A với C. Xét $\Delta ABC$có :

AB < BC + AC (qh giữa các cạnh trong tam giác) (1)

Xét $\Delta ADC$có:

AC < AD + DC (qh giữa các cạnh trong tam giác) (2)

Cộng vế 1 và 2 vào ta sẽ có:

AB + AC < BC + AC + AD + CD

→ AB + BC < CD + AD

→ AB < CD + AD + BC

b) Xét $\Delta ABC$, ta có: AC < AB + BC

Xét $\Delta ADC$, ta có: AC < AD + DC

→ 2AC < AB + BC + AD + DC

nên $AC{\rm{ }} < {\rm{ }}\frac{{\left( {{\rm{ }}AB{\rm{ }} + {\rm{ }}BC{\rm{ }} + {\rm{ }}CD{\rm{ }} + \,AD} \right)}}{2}$(1)

Tương tự như vậy $BD < \frac{{\left( {AB + BC + CD + AD} \right)}}{2}$(2)

Từ 1 và 2 suy ra AC + BD < AB + BC + DC + AD