Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB. Lấy I thuộc AC, J thuộc DN

Trả lời

Kẻ đường thẳng qua C song song với BM cắt BD ở G, AG cắt DN ở J, đường thẳng qua J song song với CG cắt AC ở I.

Kẻ AH vuông góc với BD tại H.

Dễ dàng chứng minh được IJ // BM; B là trung điểm của GD và tính được

$BM=\frac{a\sqrt{3}}{2};CG=2.BM=a\sqrt{3};GH=\frac{3a}{2}$

Ta có: Tam giác ANJ đồng dạng với tam giác AHG nên:

$\frac{AJ}{AG}=\frac{AN}{GH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3}$ 

Mà IJ // CG nên:

 $\frac{IJ}{CG}=\frac{AJ}{AG}=\frac{1}{3}\Rightarrow IJ=\frac{CG}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.