Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) BC // DE.
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
Lời giải
a) Xét ∆ADE nội tiếp đường tròn đường kính AE
Þ AD ^ DE (1)
Lại có AH ^ BC Þ AD ^ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra DE // BC (cùng vuông góc với AD).
b) Ta có: Tứ giác ABDC nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ACB}\) (3) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Lại có \(\widehat {ACE} = 90^\circ \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {BCE} = 90^\circ \) (4)
AD ^ BC \( \Rightarrow \widehat {BHD} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HBD} + \widehat {HDB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {CBD} + \widehat {ADB} = 90^\circ \) (5)
Từ (3), (4) và (5) nên suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {CBD}\).
Mà BC // DE (cmt).
Nên suy ra tứ giác BCED là hình thang cân.