Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

a) $\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA}$;

b) $\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$;

c) $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC}$;

d) $\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB}$.

Lời giải

a) Ta có $\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CA}$ (do M là trung điểm BC).

Vậy $\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a$.

b) Ta có $\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MA}$ (do M là trung điểm BC).

Tam giác ABC đều cạnh a có M là trung điểm BC.

Suy ra $CM = BM = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}$.

Tam giác ABC đều có AM là đường trung tuyến.

Suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ACM vuông tại M: $AM = \sqrt {A{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = MA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

c) Ta có $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AQ}$, với N, C là trung điểm AB, AQ.

$= \overrightarrow {AP}$, với P là đỉnh của hình bình hành AQPN.

Gọi L là hình chiếu của A lên PN.

Ta có MN // AC (MN là đường trung bình của ∆ABC).

Suy ra $\widehat {ANL} = \widehat {MNB} = \widehat {ACB} = 60^\circ$.

Tam giác ANL vuông tại L:

⦁ $\sin \widehat {ANL} = \frac{{AL}}{{AN}} \Rightarrow AL = \frac{a}{2}.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$;

⦁ $\cos \widehat {ANL} = \frac{{NL}}{{AN}} \Rightarrow NL = \frac{a}{2}.\cos 60^\circ = \frac{a}{4}$.

Ta có PL = PN + NL = AQ + NL = 2AC + NL $= 2a + \frac{a}{4} = \frac{{9a}}{4}$.

Tam giác ALP vuông tại L: $AP = \sqrt {A{L^2} + P{L^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{9a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}$.

Vậy $\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AP} } \right| = AP = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}$.

d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM thỏa mãn $MK = \frac{3}{4}MA$và H là điểm thuộc tia MB sao cho MH = 2,5MB.

Khi đó $\overrightarrow {MK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MH} = 2,5\overrightarrow {MB}$.

Ta có $\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MK} - \overrightarrow {MH} = \overrightarrow {HK}$.

Ta có $MK = \frac{3}{4}MA = \frac{3}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}$ và $MH = 2,5MB = 2,5.\frac{a}{2} = \frac{{5a}}{4}$.

Tam giác KMH vuông tại M: $HK = \sqrt {M{K^2} + M{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 3 }}{8}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {127} }}{8}$.