Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CHK và đường phân giác trong BD (H Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CH, AB lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh bốn điểm C, D, H, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AD.AC = DE.AB
a) Ta có :
DF vuông CD (gt) Þ \(\widehat {FDC} = 90^\circ \)
CH vuông HF (gt) Þ \(\widehat {CHF} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {FDC} = \widehat {CHF} = 90^\circ \)
Mà 2 góc này ở 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CF
Suy ra CDHF là tứ giác nội tiếp.
Vậy bốn điểm C, D, H, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có: \(\widehat {ECD} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ góc \(\widehat {HCB}\))
Xét ∆ECD và ∆ABC có:
\(\widehat {ECD} = \widehat {ABC}\) (cmt )
\(\widehat {EDC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \)
Suy ra ∆ABC ᔕ ∆ECD (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{AC}}{{ED}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ )
Mà BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gt)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{ED}}\)
Suy ra AD.AC = DE.AB (đpcm)