Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.
a) Chứng minh AH = DE.
b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
Lời giải
a) Tứ giác ADHE, có:
\[\widehat {DAE} = 90^\circ \] (do tam giác ABC vuông tại A);
\[\widehat {ADH} = 90^\circ \] (do HD ⊥ AB tại D);
\[\widehat {AEH} = 90^\circ \] (do HE ⊥ AC tại E).
Do đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Vậy AH = DE.
b) Tam giác HEC vuông tại E có EQ là đường trung tuyến.
Suy ra EQ = HQ = QC.
Khi đó tam giác HEQ cân tại Q.
Vì vậy \(\widehat {QEH} = \widehat {QHE}\) (1)
Hình chữ nhật ADHE có O là giao điểm của hai đường chéo AH và DE.
Suy ra O là trung điểm của AH và O cũng là trung điểm của DE.
Mà AH = DE (chứng minh trên).
Do đó OH = OE = OD = OA.
Vì vậy tam giác OHE cân tại O.
Suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\) (2)
Ta có AH ⊥ HQ (giả thiết).
Suy ra \(\widehat {OHQ} = 90^\circ \).
Vì vậy \(\widehat {OHE} + \widehat {QHE} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra \(\widehat {OEQ} = 90^\circ \).
Khi đó OE ⊥ EQ (*)
Chứng minh tương tự, ta được OD ⊥ DP (**)
Từ (*), (**), suy ra PD // EQ.
Mà \(\widehat {OEQ} = 90^\circ \) (chứng minh trên).
Vậy tứ giác DEQP là hình thang vuông.