Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{BAC}$  = 60°, kẻ tia Ax song song với BC. Trên Ax lấy điểm D sao cho AD = DC.

a) Tính các góc BAD và DAC.

b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi.

d) Cho AC = 8cm, AB = 5cm. Tính diện tích hình thoi ABED.

a) Ta có AD//BC

⇒ $\widehat{BAD}=180°-\widehat{ABC}=120°$

$\widehat{DAC}=\widehat{DAB}-\widehat{BAC}=120°-90°=30°$

b) Ta có DA = DC⇒ΔDAC cân tại D

⇒  $\widehat{DAC}=\widehat{DAC}=30°$

Mà $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=30°$

⇒ $\widehat{DCB}=\widehat{DCA}+\widehat{ACB}=60°=\widehat{ABC}$

Do AD // BC ⇒ ADCB là hình thang cân

c) Ta có ΔABC vuông tại A, E là trung điểm BC

⇒ EA = EB = EC

Do EA = EC, DA = DC

⇒ DE là trung trực của AC

Gọi DE ∩ AC =F ⇒ F là trung điểm AC

Lại có AD//BC ⇒ $\frac{FD}{FE}=\frac{FA}{FC}=1$

⇒ FD = FE ⇒ F là trung điểm EF

⇒ DE ⊥ AC = F là trung điểm mỗi đường

⇒ ADCE là hình thoi

⇒ AD = DC = CE = EA

Ta có AD // BC, AD = BE⇒ ADEB là hình bình hành

Do EA = EB, $\widehat{B}$  = 60°

 ⇒ ΔABE đều 

⇒ BA = BE

Mà BA = BE ⇒ ABED là hình thoi

d) Vì ABED là hình thoi

⇒ S_ABED = 2S_ABE = S_ABC = $\frac{1}{2}$  AB⋅AD = 20.