Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

Lời giải

Do ∆ABC là tam giác vuông tại A nên:

\({S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{{AB.AC}}{2} \Rightarrow AH.BC = AB.AC\)

\( \Leftrightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{1}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB.AC}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}\)

Mặt khác theo định lý Pytago thì:

BC² = AB² + AC²

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

Do đó ta có đpcm.