Cho tam giác ABC với AB = AC. Lấy I là trung điểm BC. Trên tia BC lấy điểm N, trên tia CB lấy điểm M sao cho CN = BM. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)và AI là tia phân giác của góc BAC.
b) AM = AN.
c) AI vuông góc với BC.
a) Xét △ABI và △ACI có
AI là cạnh chung
AB = AC (giả thiết)
BI = CI (giả thiết)
Suy ra △ABI = △ACI (c.c.c)
Do đó \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\), \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (các góc tương ứng)
Suy ra AI là tia phân giác của góc BAC
b) Ta có \(\widehat {ABI} + \widehat {ABM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\(\widehat {ACI} + \widehat {ACN} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)(chứng minh câu a)
Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)
Xét △ABM và △ACN có
AB = AC (giả thiết)
\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)
BM = CN (giả thiết)
Suy ra △ABM = △ACN (c.g.c)
Do đó AM = AN (hai cạnh tương ứng)
c) Vì △ABI = △ACI (chứng minh câu a)
Nên \(\widehat {AIB} = \widehat {AIC}\)(hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AIB} + \widehat {AIC} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {AIB} = \widehat {AIC} = 90^\circ \)
Hay AI ⊥ BC
Vậy AI ⊥ BC.